かけ算と割り算について質問です。
例えば線の長さと線の長さを賭けると面積になります。また長さ ÷ 時間は速度になります。『数学入門』(岩波新書、遠山啓著)によるとかけ算、割り算は「新しい量をつくりだす力を持った演算なのである」とあります。
この、かけ算はなぜ新しい量を作ることができるのか、について考えているのですがまだ納得できていません。
同じ『数学入門』の P.70 には「かけ算の規則は他の規則から論理だけの力で導き出せるものではない。それは分数のかけ算の規則と同じく、無数の実例からぬき出されたものである。」という記述があります。これを読むとかけ算は過去の歴史において「新しい量を生み出すための演算」として発明されたのではなく、単純に「足し算の繰り返し」として発明された演算が、どういうわけか異なる量から新しい量を導くことに使えることが分かった、という偶然の産物のように思えてしまいますが、実際のどころはどうなのでしょうか。
http://q.hatena.ne.jp/1201504021#a798172
ということで、これも、「新しい量」の「単位」を設定し、それの次元方向にそれぞれ掛けたり割ったりしたもので、新しい次元を持つ量を設定すれば、あとは自動なのかな。もちろん、容積を縦横高さで設定すれば、三次元だし、「この原器と同じ体積である！」と設定すれば、一次元の単位になるかな。
